Demonstrar por "indução matemática". 2^ngt n^2 forall ngeqslant 5,nin N

Para demonstrar por indução matemática que para todo , onde é um número natural, vamos seguir os passos da prova por indução.### Passo 1: Base da induçãoVerificamos a afirmação para . Portanto, . A base da indução é verdadeira.### Passo 2: Passo da induçãoSupomos que a afirmação é verdadeira para algum , ou seja, supomos que .Queremos mostrar que a afirmação é verdadeira para , ou seja, queremos mostrar que \(2^{k+1} > (k+1)^2\).Começamos multiplicando ambos os lados da suposição por 2: Isso nos dá: Agora, precisamos mostrar que \(2k^2 > (k+1)^2\). Expandimos o lado direito: Subtraímos de ambos os lados: Esta desigualdade é verdadeira para , pois:Para : Para : E assim por diante. Portanto, para .Assim, temos que \(2^{k+1} > 2k^2 > (k+1)^2\).### ConclusãoPelo princípio de indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo , onde é um número natural.