Assinale a opção que apresenta a distância entre o ponto P=(4,1,2) e a reta ) x=3-2t y=2-t z=-1+2t a. d(P,r)=(sqrt (74))/(3) b. d(P,r)=(74)/(3) C. d(P,r)=sqrt (6) d. d(P,r)=sqrt (74) e. d(P,r)=sqrt (8)

Para encontrar a distância entre um ponto e uma reta, podemos usar a fórmula da distância de ponto para reta no espaço tridimensional. A fórmula é dada por: Onde:- é o ponto dado,- é um ponto na reta,- é outro ponto na reta.Neste caso, podemos escolher como o ponto \( (3, 2, -1) \) que satisfaz a reta para , e como o ponto \( (3 - 2t, 2 - t, -1 + 2t) \) para um valor genérico de .Substituindo esses valores na fórmula, temos: Calculando as normas, temos: Substituindo esses valores na fórmula, temos: Simplificando a expressão, temos: Para encontrar a distância entre o ponto e a reta , podemos calcular o valor mínimo dessa expressão. Para isso, podemos usar o método de minimização, como o método da derivada ou o método da programação linear.Aplicando o método da derivada, temos: Resolvendo essa equação, encontramos o valor de que minimiza a expressão.Aplicando o método da programação linear, temos: Resolvendo essa programação linear, encontramos o valor de que minimiza a expressão.Após encontrar o valor de que minimiza a expressão, substituímos esse valor na fórmula da distância para obter o valor mínimo.Portanto, a resposta correta é a opção a. \( d(P, r) = \frac{\sqrt{74}}{3} \).