y^prime prime+16 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=-2

Para resolver a equação diferencial com as condições iniciais \( y(0) = 2 \) e \( y'(0) = -2 \), podemos usar o método da transformada de Laplace.Tomando a transformada de Laplace de ambos os lados da equação diferencial, obtemos:\( s^2Y(s) + 16Y(s) = 0 \)Fatorando a equação, temos:\( (s^2 + 16)Y(s) = 0 \)Isso implica que \( Y(s) = 0 \), o que significa que a transformada de Laplace da solução é zero. No entanto, isso não faz sentido no contexto das condições iniciais dadas.Vamos reconsiderar a abordagem e resolver diretamente a equação diferencial usando métodos numéricos ou de solução especial.A solução geral da equação diferencial é da forma \( y(t) = A \cos(4t) + B \sin(4t) \), onde e são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.Substituindo as condições iniciais \( y(0) = 2 \) e \( y'(0) = -2 \) na solução geral, temos:\( 2 = A \cos(0) + B \sin(0) \)\( -2 = 4A \sin(0) + 4B \cos(0) \)Resolvendo essas equações, encontramos: Portanto, e .Assim, a solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:\( y(t) = 2 \cos(4t) - \frac{1}{2} \sin(4t) \)