7 (1.0) Prove que: (a) Se cgt 0 então md (ca,cb)=c.mdc(a,b) (b) Aplicando o item acima, encontre quais são os valores de a,bin Z com agt 0 que satisfazem mdc(ab,a)=1

(a) Para provar que se então \( \text{mdc}(ca, cb) = c \cdot \text{mdc}(a, b) \), vamos usar a propriedade da divisão euclidica.Vamos considerar \( d = \text{mdc}(a, b) \). Então, existem inteiros e tais que e .Agora, vamos considerar e . Podemos escrever e .Vamos mostrar que \( \text{mdc}(ca, cb) = c \cdot \text{mdc}(a, b) \).Seja \( d' = \text{mdc}(ca, cb) \). Então, divide tanto quanto .Como divide , podemos escrever para algum inteiro .Além disso, como divide , podemos escrever para algum inteiro .Agora, vamos mostrar que divide \( c \cdot \text{mdc}(a, b) \).Como \( d = \text{mdc}(a, b) \), podemos escrever e .Então, \( c \cdot \text{mdc}(a, b) = c \cdot d \).Como divide tanto quanto , também divide .Portanto, divide \( c \cdot \text{mdc}(a, b) \).Assim, \( \text{mdc}(ca, cb) = c \cdot \text{mdc}(a, b) \).(b) Aplicando o item acima, queremos encontrar com que satisfazem \( \text{mdc}(ab, a) = 1 \).Se \( \text{mdc}(ab, a) = 1 \), então deve ser invertível módulo , ou seja, \( \text{gcd}(a, b) = 1 \).Portanto, os valores de que satisfazem \( \text{mdc}(ab, a) = 1 \) são aqueles em que \( \text{gcd}(a, b) = 1 \).