1. Consideramos os seguintes subespaços no R^4 U= (x,y,z,t)/x=z,t=0 e V= (x,y,z,t)/x+y=0 , Determine: a) Uma base de U e dimU b) Uma base de V dimV c) Uma base de U+Vedim(U+V) d) Uma base de Ucap V e dim (Ucap V) e) Tem Uoplus V 2. No conjunto V= (x,y)vert x,yin R definamos "adição" assim: (x_(1),y_(1))+(x_(2),y_(2))=(x_(1)+x_(2),0) e multiplicação por escalares como no R^2 , ou seja, para cada ain IR a(x,y)=(ax,ay) Nessas condições V é um espaço vetorial sobre IR? Por quê?

Question

1. Consideramos os seguintes subespaços no R^4 U= (x,y,z,t)/x=z,t=0 e V= (x,y,z,t)/x+y=0 , Determine: a) Uma base de U e dimU b) Uma base de V dimV c) Uma base de U+Vedim(U+V) d) Uma base de Ucap V e dim (Ucap V) e) Tem Uoplus V 2. No conjunto V= (x,y)vert x,yin R definamos "adição" assim: (x_(1),y_(1))+(x_(2),y_(2))=(x_(1)+x_(2),0) e multiplicação por escalares como no R^2 , ou seja, para cada ain IR a(x,y)=(ax,ay) Nessas condições V é um espaço vetorial sobre IR? Por quê?

Answer 1

1. a) Uma base de U é {(0,0,0,1), (0,0,1,0)}. A dimensão de U é 2.b) Uma base de V é {(1, -1, 0, 0)}. A dimensão de V é 1.c) Uma base de U+V é {(0,0,0,1), (1, -1, 0, 0)}. A dimensão de U+V é 2.d) Uma base de U∩V é {(0,0,0,0)}. A dimensão de U∩V é 0.e) Sim, U⊕V é um subespaço de R^4.2. No conjunto V com a definição de adição dada, V não é um espaço vetorial sobre R. Isso ocorre porque a adição não é comutativa, ou seja, para dois vetores (x1, y1) e (x2, y2) em V, temos (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, 0) que não é igual a (x2, y2) + (x1, y1) = (x2 + x1, 0). Portanto, a operação de adição não satisfaz a propriedade de comutatividade necessária para que V seja um espaço vetorial sobre R.

Question

Solution

Resposta