TRABALHO AVALIATIVO - 100 PONTOS 1) Sejam a e b números reais positivos . Mostre que se alt b , então a^2lt b^2 2) Sejam a e b racionais positivos tais que sqrt (ab) é irracional. Prove que sqrt (a)+sqrt (b) irracional.

1) Para mostrar que se . Portanto, para que a desigualdade seja verdadeira, devemos ter , o que implica que , o que contradiz a suposição de que . Portanto, concluímos que .2) Para provar que é irracional, dado que é irracional, vamos usar uma prova por contradição. Suponha que é racional. Então, podemos escrever , onde e são inteiros e . Multiplicando ambos os lados por , temos . Isso implica que . Agora, elevando ambos os lados ao quadrado, temos , o que simplifica para . Isso implica que . Como , , e são inteiros, e é um múltiplo de , a expressão deve ser um múltiplo de também. No entanto, isso é impossível, pois é irracional. Portanto, nossa suposição de que é racional leva a uma contradição. Assim, concluímos que é irracional.