10) Demonstrar por "indução matemática": 6vert (n^3-n) forall nin N

Para demonstrar por indução matemática que \(6 \mid (n^3 - n)\) para todo , siga estes passos:1. **Base da indução**: Verifique a afirmação para . A afirmação é verdadeira para .2Hipótese de indução**: Suponha que a afirmação é verdadeira para algum , ou seja, \(6 \mid (k^3 - k)\).3. **Passo da indução**: Prove que a afirmação é verdadeira para . Expandindo a expressão: Agora, observe que: Note que \(k(k+1)(k+2)\) é um produto de três números consecutivos, e pelo menos um desses números é divisível por 2 (par) e pelo menos um é divisível por 3 (múltiplo de 3). Portanto, o produto é divisível por 6.Portanto, \(6 \mid (k+1)^3 - (k+1)\) para todo . Concluiu-se que a afirmação é verdadeira para todo .