Exercicio 8. Considere a função f:Rarrow R^ast definida por f(x)=5^x . Mostre que f é um homomorfismo entre os grupos (R,+)e(R^ast ,.)

Para mostrar que a função definida por \( f(x) = 5^x \) é um homomorfismo entre os grupos \((\mathbb{R}, +)\) e \((\mathbb{R}^{\ast}, \cdot)\), precisamos verificar duas propriedades: preservação da estrutura e preservação da operação.1. **Preservação da Estrutura:** - A função deve ser bijetora (injetora e sobrejetora). - Injetora: Para qualquer com \( f(x_1) = f(x_2) \), devemos ter . Como a função exponencial é injetora, isso implica . - Sobrejetora: Para qualquer , devemos encontrar tal que \( f(x) = y \). Como é o conjunto dos números reais não nulos, e a função exponencial cobre todos os valores positivos, há tal que .2. **Preservação da Operação:** - Devemos verificar que \( f(x_1 + x_2) = f(x_1) \cdot f(x_2) \) para todos . - Considere \( f(x_1) = 5^{x_1} \) e \( f(x_2) = 5^{x_2} \). - Então, \( f(x_1 + x_2) = 5^{x_1 + x_2} \). - E \( f(x_1) \cdot f(x_2) = 5^{x_1} \cdot 5^{x_2} = 5^{x_1 + x_2} \). - Portanto, \( f(x_1 + x_2) = f(x_1) \cdot f(x_2) \).Como é bijetora e preserva a operação de adição em multiplicação, concluímos que é um homomorfismo entre os grupos \((\mathbb{R}, +)\) e \((\mathbb{R}^{\ast}, \cdot)\).