2) Reduza, por meio de uma rotação e uma translação, a equação 9x^2-24xy+16y^2-20x+110y-50=0 a sua forma canônica , determine seu foco e diretriz, e mostre que a reta 4x+3y=15 é tangente à curva, determinando o ponto de tangência.

Para reduzir a equação à sua forma canônica, podemos realizar uma rotação e uma translação.Primeiro, vamos realizar uma rotação para colocar a parábola na forma . Para isso, vamos calcular os coeficientes , e da matriz de coeficientes da equação: Em seguida, vamos calcular o determinante da matriz:\(\Delta = B^2 - 4AC = (-24)^2 - 4(9)(16) = 576 - 576 = 0\)Como o determinante é igual a zero, a equação representa uma parábola. Agora, vamos calcular os coeficientes e usando as fórmulas:\(D = 2Ax - By = 2(9)x - (-24)y = 18x + 24y\)\(E = 2Cy - Ax = 2(16)y - 9x = 32y - 9x\)Substituindo esses valores na equação original, temos: Agora, vamos realizar uma translação para colocar a parábola na forma . Para isso, vamos calcular os coeficientes e usando as fórmulas:\(D = 2Ax - By = 2(9)x - (-24)y = 18x + 24y\)\(E = 2Cy - Ax = 2(16)y - 9x = 32y - 9x\)Substituindo esses valores na equação original, temos: Agora, vamos determinar o foco e a diretriz da parábola. Para isso, vamos calcular os coeficientes , e da matriz de coeficientes da equação: Em seguida, vamos calcular o valor de usando a fórmula: Substituindo os valores, temos:\(p = \frac{4(9)(16) - (-24)^2}{4(9)(16)} = \frac{576 - 576}{576} = 0\)Como o valor de é igual a zero, a parábola é uma parábola vertical. Agora, vamos determinar o foco e a diretriz da parábola. O foco está localizado em \((h, k + p)\) e a diretriz é a reta .Para determinar o ponto de tangência da reta com a curva, vamos substituir os valores de e na equação da parábola e igualá-la a zero. Em seguida, vamos substituir os valores de e na equação da reta e igualá-la a zero. O ponto de tangência será o ponto em que a reta toca a parábola.Para determinar se a reta é tangente à curva, precisamos verificar se o ponto de tangência satisfaz ambas as equações da parábola e da reta. Se o ponto de tangência satisfaz ambas as equações, então a reta é tangente à curva.