Uma elipse tem os focos F1=(0,-2) e F2=(0,2) e excentricidade varepsilon =0,5 . Sabendo que a área S da superficie elíptica é dada pela fórmula S=pi ab , assinale a alternativa que expressa a área CORRETA dessa superfície. A A S=8sqrt (3)pi S=4sqrt (2)pi _(0) B S=3sqrt (2)pi C D S=4sqrt (3)pi E S=12sqrt (3)pi

Para encontrar a área da elipse, precisamos calcular os valores de e usando a fórmula da elipse e, em seguida, aplicar a fórmula da área da elipse.Dado que os focos são \(F1 = (0, -2)\) e \(F2 = (0, 2)\), podemos calcular a distância entre os focos, , que é igual a 4. Portanto, .A fórmula da elipse é dada por , onde é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.Sabemos que a eccentricidade é igual a . Substituindo os valores conhecidos, temos . Portanto, .Para encontrar o valor de , podemos usar a relação . Substituindo os valores conhecidos, temos . Resolvendo essa equação, encontramos .Agora, podemos calcular a área da elipse usando a fórmula . Substituindo os valores encontrados, temos .Portanto, a resposta correta é a alternativa A: .