Questão 0.3. Determine núcleo e a imagem da transfromação linear T:R^3arrow R^2 tal que T(1;0;0)= (2;0),T(0;1;0)=(1;1) e T(0;0;1)=(0;-1).

Para determinar o núcleo e a imagem da transformação linear , precisamos analisar as propriedades da transformação dada.### Núcleo da Transformação (\(\ker(T)\))O núcleo de é o conjunto de todos os vetores \( (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \) tais que \( T(x, y, z) = (0, 0) \). Para encontrar o núcleo, precisamos resolver o sistema de equações: Podemos ver que transforma \( (1, 0, 0) \) em \( (2, 0) \), \( (0, 1, 0) \) em \( (1, 1) \) e \( (0, 0, 1) \) em \( (0, -1) \).Para encontrar o núcleo, precisamos encontrar um vetor \( (x, y, z) \) tal que: Isso significa que: Portanto, o vetor \( (x, y, z) \) deve ser da forma \( (0, -x, 0) \). Isso implica que qualquer vetor \( (x, y, z) \) que satisfaça essa condição estará no núcleo. Em outras palavras, o núcleo é gerado por vetores da forma \( (0, -x, 0) \).### Imagem da Transformação (\(\text{Im}(T)\))A imagem de é o conjunto de todos os vetores \( (a, b) \in \mathbb{R}^2 \) tais que existe um vetor \( (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \) tal que \( T(x, y, z) = (a, b) \).Usando as transformações fornecidas: Podemos ver que a imagem de é o conjunto de todos os vetores \( (a, b) \) que podem ser obtidos combinando linearmente esses vetores. Ou seja, a imagem é o subespaço gerado por \( (2, 0) \), \( (1, 1) \) e \( (0, -1) \).Para encontrar a base dessa subespécie, podemos usar o método de eliminação de Gauss-Jordan ou métodos de escalonamento para obter a forma escalonada reduzida da matriz de : Aplicando escalonamento: Portanto, a base da imagem é \( \{(2, 0), (1, 1), (0, -1)\} \).### Resumo- **Núcleo de **: O subespaço gerado por \( (0, -x, 0) \) para .- **Imagem de **: O subespaço gerado por \( \