19os biólogos consideram que, ao chegar a 100 indivíduos, a extinção de uma espécie animal é inevitável. A população de uma determinada espécie animal, ameaçada de extinção diminui segundo a função f(t)=ktimes a^t , na qual, k e a são números reais e f(t) indica o número de indivíduos dessa espécie no instante t (t em anos). Atualmente (instante t=0 ) existem 3000 individuos da espécie e estima-se que, daqui a 10 anos, haverá 900. Caso nenhuma providência seja tomada, mantido tal decrescimento exponencial, daqui a quantos anos será atingido o nível de população que os biologos consideram como irreversivel para a extinção? (1pt) 29 Uma epidemia de virose atingiu uma pequena comunidade no norte do país .com apenas 2000 habitantes. Um estudo modelou a quantidade P de infectados dessa população, por meio da função em que t representa o tempo medido em meses, decorrido após a identificação do primeiro infectado. p(t)=(500)/(1+8cdot 2^-t+1) As autoridades devem colocar em prática um plano de ação que visa extinguir a presença do virus antes que ele atinja 400 habitantes Considerando o modelo descrito, o tempo máximo disponível, em meses, para que o piano seja executado é?(1pt) 39Em um determinado momento, foram introduzidos 100 peixes em um lago. Um estudo ecológico -matemático determinou que a população dessa espécie de peixes nesse lago é dada pela fórmula abaixo. p(t)=(1000)/(1+Ae^-kt) Em que té o tempo decorrido em messes, desde que os primeiros peixes foram postos no lago.(1pt) a) Determine a função P(t) , sabendo que, passados seis meses da introdução dos peixes, a população atingiu 500 indivíduos. b) Determine em quantos meses a população atingirá 1200 peixes. 4. A população brasileira era de cerca de 170 milhões de habitantes em 2000 e atingiu os 190 milhões de habitantes em 2010 (1pt) a) Considerando que t=0 no ano de 2000 determine a função exponencial P(t)=ae^bt que fornece o número aproximado de habitantes do país , em relação ao ano. b) Usando seu modelo matemático , estime a população brasileira em 2020.

1. Para determinar o tempo necessário para atingir o nível de população considerado irreversível para a extinção, podemos usar a função exponencial dada: , onde a f(t) t t=0 t=10 k a f(0) = k \times a^0 = 3000 k \times 1 = 3000 k = 3000 f(10) = k \^{10} = 900 3000 \times a^{10} = 900 a^{10} = \frac{900}{3000} a^{10} = 0.3 a = \sqrt[10]{0.3} k a t f(t) = 100 100 = 3000 \times (\sqrt[10]{0.3})^t \frac{100}{3000} = (\sqrt[10]{0.3})^t \frac{1}{30} = (\sqrt[10]{0.3})^t \log(\frac{1}{30}) = \log((\sqrt[10]{0.3})^t) \log(\frac{1}{30}) = t \times \log(\sqrt[10]{0.3}) t = \frac{\log(\frac{1}{30})}{\log(\sqrt[10]{0.3})} t p(t) = \frac{500}{1 + 8 \times 2^{-t+1}} t t p(t) = 400 400 = \frac{500}{1 + 8 \times 2^{-t+1}} 1 + 8 \times 2^{-t+1} = \frac{500}{400} 1 + 8 \times 2^{-t+1} = 1.25 8 \times 2^{-t+1} = 0.25 2^{-t+1} = \frac{0.25}{8} 2^{-t+1} = 0.03125 \log(2^{-t+1}) = \log(0.03125) -t + 1 = \log(0.03125) t = 1 - \log(0.03125) t P(t) p(t) = \frac{1000}{1 + Ae^{-kt}} t p(6) = \frac{1000}{1 + A \times e^{-6k}} = 500 1 +