1. Determine a derivada direcional de f(x,y)=e^xsiny no ponto (0,pi /3) na direção do vetor v=(-6,8) 2. Determine a direção em que a taxa de variação de f(x,y)=sin(xy) no ponto (1,0) máxima e encontre o valor da taxa de variação máxima de f no ponto (1,0) 3. Encontre a equação do plano tangente à superficie xy+yz+zx=5 no ponto (1,2,1) 4. Encontre os pontos criticos da função f(x,y)=x^3-12xy+8y^3 e classifique-os (ponto de mínimo local, ponto de máximo local ou ponto de sela). 5. Encontre o valor máximo e valor mínimo da função f(x,y)=y^2-x^2 sujeita à restrição (1)/(4)x^2+y^2=1

1. Para determinar a derivada direcional de no ponto na direção do vetor , podemos usar a fórmula da derivada direcional: Portanto, a derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .2. Para determinar a direção em que a taxa de variação de no ponto é máxima, podemos calcular as derivadas parciais de em relação a e e encontrar o vetor gradiente . Em seguida, podemos normalizar o vetor gradiente para obter a direção em que a taxa de variação é máxima. Portanto, a direção em que a taxa de variação de no ponto é máxima é a direção .Para encontrar o valor da taxa de variação máxima de no ponto , podemos calcular o valor da derivada direcional em na direção : Portanto, o valor da taxa de variação máxima de no ponto é .3. Para encontraração do plano tangente à superfície no ponto , podemos calcular o vetor gradiente , onde . Portanto, a equação do plano tangente à superfície no ponto é , ou seja, .4. Para encontrar os pontos críticos da função , podemos calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero. Igualando as derivadas parciais a zero, temos: Resolvendo essas equações, encontramos os pontos críticos: ,