Exercice 5 Soit nin N^ast . On pose : S_(n)=sum _(k=1)^n(1)/(sqrt (k)) et u_(n)=(S_(n))/(sqrt (n)) et v_(n)=S_(n)-2sqrt (n) 1) Montrer que : (nabla nin N^ast ):S_(n)leqslant sqrt (n)+sqrt (n-1) 2) Montrer que : (forall nin N^ast ):2;sqrt (n+1)-2leqslant S_(n) 3) En déduire que (u_(n))_(ngeqslant 1) et (v_(n))_(n)geqslant 1 sont convergentes.

1) Pour montrer que , nous allons utiliser une démonstration par récurrence.Initialisation :Pour , et , donc l'inégalité est vérifiée.Hérédité :Supposons que pour un certain , l'inégalité soit vérifiée, c'est-à-dire que .Nous devons montrer que . .D'après l'hypothèse de récurrence, .Donc, .En utilisant l'inégalité triangulaire inversée, , nous avons : .Simplifiant, .Ainsi, par récurrence, nous avons montré que .2) Pour montrer que , nous allons utiliser une démonstration par récurrence.Initialisation :Pour , et , donc l'inégalité est vérifiée.Hérédité :Supposons que pour un certain , l'inégalité soit vérifiée, c'est-à-dire que .Nous devons montrer que . .Dès l'hypothèse de récurrence, .Donc, .En utilisant l'inégalité triangulaire inversée, , nous avons : .Simplifiant, .Ainsi, par récurrence, nous avons montré que .3) Pour déduire que et sont convergentes, nous allons utiliser les résultats précédents.Nous avons montré que et .Cela signifie que les suites sont majorées par des suites convergentes, donc elles sont également convergent