Question
Sabendo que em um poliedro o número de vértices (V) corresponde a (2)/(3) do número de arestas (A) e o número de faces (F) é quatro unidades menos que o de vértices, calcule número de faces de vértices e arestas desse poliedro.
Solution
4.4
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Jegor
Elite · Tutor por 8 anos
Resposta
Vamos resolver o problema passo a passo.1. **Relação entre vértices e arestas:**
2. **Relação entre vértices e faces:**
Para encontrar o número de vértices, arestas e faces, precisamos de uma equação que ligue esses três valores. Sabemos que em um poliedro convexo, a soma das arestas é igual ao dobro do número de arestas (teorema de Euler para poliedros convexos):
Agora, substituímos as relações dadas no problema na equação de Euler:1. Substituímos
na relação entre vértices e faces:
2. Substituímos
na equação de Euler:
Resolvendo essa equação:
Multiplicamos ambos os lados por 3 para eliminar o denominador:
Subtraímos
de ambos os lados:
Multiplicamos ambos os lados por -1:
Agora que temos o número de arestas, podemos encontrar o número de vértices e faces:1. **Número de vértices:**
2. **Número de faces:**
Portanto, o poliedro tem:- 20 vértices- 30 arestas- 16 faces