Question
63 Escreva as equaçao paramétricas das interseço dos plano e) pi 1: 2 x-y+2 z=0 e pi 2: 4 x-2 y-z=1
Solution
4
(147 Votos)
Karla Maria
Mestre · Tutor por 5 anos
Resposta
Para encontrar as equações paramétricas das interseções do plano
e
, precisamos primeiro encontrar um ponto comum a ambos os planos e um vetor diretor comum.Podemos fazer isso resolvendo o sistema de equações formado pelas equações dos planos:
Multiplicando a primeira equação por 2, temos:
Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:
Simplificando, temos:
Portanto,
.Substituindo esse valor de
em uma das equações originais, podemos encontrar o valor de
e
. Vamos usar a primeira equação:
Simplificando, temos:
Multiplicando por 5 para eliminar o denominador, temos:
Portanto,
ou
.Agora, podemos escolher um valor para
e encontrar o valor correspondente de
e
. Vamos escolher
:
Portanto, um ponto comum aos planos é \( P(\frac{1}{5}, 0, -\frac{1}{5}) \).Para encontrar o vetor diretor comum, podemos usar o resultado da eliminação anterior. O vetor diretor é dado pela diferença entre os vetores normais dos planos:
Portanto, o vetor diretor comum é
.Usando o ponto
e o vetor diretor
, podemos escrever as equações paramétricas das interseções:
onde
é um parâmetro que varia ao longo da reta de interseção.