Exercicio 5. Mostre que o conjunto Q[sqrt (2)]= a+bsqrt (2);a,bin Q) é um subgrupo de (R,+)

Para mostrar que o conjunto é um subgrupo de \((\mathbb{R}, +)\), precisamos verificar as seguintes propriedades:1. **Fechamento**: Se , então .2. **Comutatividade**: Para qualquer , temos .3. **Associatividade**: Para qualquer , temos \( (x + y) + z = x + (y + z) \).4. **Identidade aditiva**: O elemento é tal que para todo .5. **Inverso aditivo**: Para cada , existe tal que \( x + (-x) = 0 \).Vamos detalhar cada uma dessas propriedades:1. **Fechamento**: Se e para , então: Como e são números racionais, .2. **Comutatividade**: A adição de números reais é comutativa, então para qualquer .3. **Associatividade**: A adição de números reais é associativa, então \( (x + y) + z = x + (y + z) \) para qualquer .4. **Identidade aditiva**: O elemento é tal que para todo . Claramente, .5. **Inverso aditivo**: Para cada , o inverso aditivo é \( -x = -(a + b\sqrt{2}) = -a - b\sqrt{2} \). Claramente, \( x + (-x) = 0 \) e .Portanto, o conjunto é um subgrupo de \((\mathbb{R}, +)\).