2. Considere a equação linear y''-2y'+y=0 e responda os itens abaixo. (a) Mostre que y(x)=xe^x é uma solução para a equação acima. (b) Mostre que se y_(1)ey_(2) são soluções da EDO acima então y_(1)+y_(2) também é solução desta EDO. (c) Mostre que se y_(3) é solução da EDO acima ecin R então ccdot y_(3) também é solução da EDO acima.

(a) Para mostrar que é uma solução para a equação diferencial , precisamos substituir e suas derivadas em sua expressão e verificar se a equação é satisfeita.Substituindo na equação diferencial, temos: Substituindo essas derivadas na equação diferencial, temos: Simplificando a expressão, temos: Portanto, é uma solução para a equação diferencial .(b) Para mostrar que se e são soluções da EDO acima, então também é solução desta EDO, precisamos substituir na equação diferencial e verificar se a equação é satisfeita.Se e são soluções da EDO, temos: Somando essas duas equações, temos: Agora, substituindo na equação diferencial, temos: Simplificando a expressão, temos: Como e são soluções da EDO, temos: Portanto, a equação diferencial é satisfeita para .(c) Para mostrar que se é solução da EDO acima para então também é solução da EDO acima, precisamos substituir na equação diferencial e verificar se a equação é satisfeita.Se é solução da EDO, temos: Multiplicando essa equação por , temos: Agora, substituindo na equação diferencial, temos: Simplificando a expressão, temos: Como é solução da EDO, temos: Portanto, a equação diferencial é satisfeita para .Portanto, se é solução da EDO acima para então também é solução da EDO acima.