(d) 12 y^prime prime-5 y^prime-2 y=0 [ e=e^x t 12 x^2-5 x-2=0 12 x^2-5 x-2=0 ]

Para resolver a equação diferencial dada, podemos usar o método de substituição. Vamos substituir por .A derivada de em relação a será e a derivada de segunda ordem será .Substituindo essas expressões na equação diferencial, temos:\( 12(e^{xt} \cdot t^2 + 2e^{xt} \cdot xt + e^{xt} \cdot x^2) - 5(e^{xt} \cdot t + e^{xt} \cdot x) - 2e^{xt} = 0 \).Simplificando, temos: .Agora, podemos dividir ambos os lados da equação por , que não é nula: .Esta é uma equação quadrática em . Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara: , onde , e .Resolvendo essa equação, encontramos os valores de que satisfazem a equação diferencial.Portanto, a solução da equação diferencial é dada por , onde é uma das soluções encontradas na equação quadrática.