(4) f(x, y)=(x^4+x^2. Uo ponto P(1,0) encontre a derivada direcionat def na direcaio e sentido de P para Q(0,-1) . Encontre também a taxa de variação máxima de fem P e a direcaio e sentido em que ela'ocorre.

Para encontrar a derivada direcional de \( f(x, y) \) na direção e sentido de para , precisamos primeiro encontrar o vetor unitário na direção de a partir de .Vamos calcular o vetor que vai de para : Agora, vamos normalizar esse vetor para obter o vetor unitário : Agora, podemos calcular a derivada direcional de na direção de : Evaluando em \( P(1,0) \): A derivada direcional é dada por: Portanto, a derivada direcional de na direção de a partir de é .Para encontrar a taxa de variação máxima de em , precisamos encontrar a direção em que a derivada direcional é máxima. Isso ocorre quando o vetor unitário é perpendicular à gradiente \( \nabla f(P) \).A direção em que a taxa de variação máxima ocorre é dada por , que é perpendicular à gradiente em . Portanto, a taxa de variação máxima ocorre na direção de a partir de , que é na direção e na direção .