(3.) Considere um planeta de massa m, em movimento orbital circular com raio Re período T,em torno do Sol, de massa M. Mostre que para essa situação, a razão (T^2)/(R^3) (terceira lei de Kepler) vale (4pi ^2)/(GM)

Para mostrar que a razão vale , podemos utilizar a terceira lei de Kepler, que afirma que a razão entre o cubo da distância média entre um planeta e o Sol e o quadrado do período orbital desse planeta é uma constante fixa.A terceira lei de Kepler pode ser expressa matematicamente da seguinte forma: Onde:- é o período orbital do planeta- é a distância média entre o planeta e o Sol- é uma constante fixaPara mostrar que vale , podemos utilizar a lei da gravitação universal de Newton, que afirma que a força gravitacional entre dois objetos é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles e diretamente proporcional ao produto de suas massas.A lei da gravitação universal de Newton pode ser expressa matematicamente da seguinte forma: Onde:- é a força gravitacional entre os dois objetos- é a constante gravitacional- e são as massas dos dois objetos- é a distância entre os dois objetosNo caso do movimento orbital do planeta ao redor do Sol, a força gravitacional é responsável por manter o planeta em sua órbita. Portanto, podemos igualar a força gravitacional à força centrípeta necessária para manter o planeta em sua órbita circular: Onde:- é a velocidade orbital do planetaSimplificando a equação, temos: A velocidade orbital pode ser expressa em termos do período orbital e da distância média da seguinte forma: Substituindo essa expressão na equação anterior, temos: Simplificando a equação, temos: Finalmente, podemos isolar a razão e igualá-la a : Portanto, a razão vale , o que demonstra a terceira lei de Kepler.