Question
6. Seja R uma relação sobre um conjunto E. Mostre que: a) D(R^-1)=Im(R) b) Im(R^-1)=D(R) c) (R^-1)^-1=R
Solution
4.7
(198 Votos)
Thiago
Veterano · Tutor por 10 anos
Resposta
Vamos corrigir e detalhar cada parte da questão:a) \( D(R^{-1}) = Im(R) \)Para mostrar isso, precisamos entender que \( D(R) \) é o domínio de
e \( Im(R) \) é a imagem de
. A inversa de uma função
, denotada por
, é tal que \( R^{-1}(R(x)) = x \) para todo
no domínio de
. Portanto, se
está na imagem de
, então existe um
no domínio de
tal que \( R(x) = y \). Aplicando
a ambos os lados, temos \( R^{-1}(y) = x \). Isso significa que
está no domínio de
, que é o mesmo que o domínio de
. Portanto, \( D(R^{-1}) = Im(R) \).b) \( Im(R^{-1}) = D(R) \)Para mostrar isso, precisamos entender que \( Im(R^{-1}) \) é a imagem de
e \( D(R) \) é o domínio de
. Se
está no domínio de
, então \( R(x) \) está na imagem de
. Aplicando
a ambos os lados, temos \( R^{-1}(R(x)) = x \). Isso significa que
está na imagem de
, que é o mesmo que o domínio de
. Portanto, \( Im(R^{-1}) = D(R) \).c) \( (R^{-1})^{-1} = R \)Para mostrar isso, precisamos entender que \( (R^{-1})^{-1} \) é a inversa da inversa de
. Se
é uma função, então
é sua inversa. Aplicando a função inversa novamente, temos \( (R^{-1})^{-1} \). Por definição de inversa, \( R(R^{-1}(x)) = x \) para todo
no domínio de
. Portanto, \( (R^{-1})^{-1} = R \).Portanto, as afirmações corretas são:a) \( D(R^{-1}) = Im(R) \)b) \( Im(R^{-1}) = D(R) \)c) \( (R^{-1})^{-1} = R \)