41. (Vunesp-SP) Suponhamos que uma represa de área igual a 128km^2 tenha sido infestada por uma vegetação aquática Suponhamos também que, por ocasila de um estudo sobre o problema, a drea tomada pela ve- getação fosse de 8km^2 e que esse estudo tivesse concluido que a taxa de aumento da drea cumulativamente infestada era de 50% ao ano. Nessas condiçoes: a) Qual seria a drea infestada n anos depois do estudo, caso nào se tomasse nenhuma providência? b) Com as mesmas hipóteses, em quantos anos a vegetação tomaria conta de toda a represa? (Use os valores aproximados log_(10)2=0,30elog_(10)3=0,48)

Vamos corrigir e detalhar os cálculos para garantir que as respostas sejam precisas.### Parte a) Área infestada após anosA área inicial infestada é . A taxa de crescimento é ao ano, ou seja, ao ano.A fórmula para o crescimento exponencial é: Onde:- é a área inicial infestada,- é a taxa de crescimento,- é o número de anos.Substituindo os valores: ### Parte b) Em quantos anos a vegetação tomaria conta de toda a represa?Queremos encontrar o tempo para que a área infestada seja igual à área total da represa, que é .Então, temos: Dividindo ambos os lados por 8: Para resolver essa equação, usamos logaritmos: Podemos usar a propriedade dos logaritmos para converter a base: Usando os valores aproximados fornecidos: Então: Portanto, a vegetação tomaria conta de toda a represa em aproximadamente anos.### Resumoa) A área infestada após anos é: b) A vegetação tomaria conta de toda a represa em aproximadamente anos.