6. (a) Mostre que cada membro da familia de funçōes y=(lnx+C)/x é uma solução da equação diferencial x^2y'+xy=1 (b) Ilustre a parte (a) traçando vários membros da família de so- luções na mesma tela. (c) Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial y(1)=2 (d) Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a con- dição inicial p(2)=1

(a) Para mostrar que cada membro da família de funções \( y = \frac{\ln(x) + C}{x} \) é uma solução da equação diferencial , precisamos substituir na equação e verificar se a igualdade é satisfeita.Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a : Agora, substituímos e na equação diferencial: Simplificando a expressão: Portanto, a igualdade é satisfeita para qualquer valor de . Assim, cada membro da família de funções \( y = \frac{\ln(x) + C}{x} \) é uma solução da equação diferencial .(b) Para ilustrar a parte (a), podemos traçar vários membros da família de soluções na mesma tela. Vamos considerar alguns valores de e plotar as funções correspondentes.(c) Para encontrar a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial \( y(1) = 2 \), substituímos e na solução geral \( y = \frac{\ln(x) + C}{x} \): Sabendo que \( \ln(1) = 0 \), temos: Portanto, a solução que satisfaz a condição inicial é \( y = \frac{\ln(x) + 2}{x} \).(d) Para encontrar a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial \( y(2) = 1 \), substituímos e na solução geral \( y = \frac{\ln(x) + C}{x} \): Isolando , temos: Portanto, a solução que satisfaz a condição inicial é \( y = \frac{\ln(x) + 2 - \ln(2)}{x} \).