33. Resolva a inequação 2cos^2x+3cosx+1gt sendo xin [0,2pi [

Para resolver a inequação \(2\cos^2(x) + 3\cos(x) + 1 > 0\), vamos seguir os seguintes passos:1. **Substituir \( \cos(x) \) por uma variável:** Vamos substituir \( \cos(x) \) por . Assim, a inequação se torna: 2. **Resolver a equação :** Para encontrar os pontos críticos, resolvemos a equação quadrática: Utilizando a fórmula de Bhaskara, , onde , e : Assim, temos duas raízes: 3. **Analisar o intervalo entre as raízes:** As raízes e dividem a reta numérica em três intervalos: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, -\frac{1}{2}) \) e \( (-\frac{1}{2}, \infty) \).4. **Testar os intervalos:** Para determinar onde a expressão é positiva, testamos um valor em cada intervalo: - Para \( y \in (-\infty, -1) \), escolha : - Para \( y \in (-1, -\frac{1}{2}) \), escolha : Portanto, a expressão é positiva nos intervalos \( (-\infty, -1) \) e \( (-\frac{1}{2}, \infty) \).5. **Converter de volta para :** Como \( y = \cos(x) \), os intervalos em são: Isso corresponde a: Portanto, a solução da inequação é:\[x \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right) \cup \left( 0, \frac{\pi}{3}