determin uma primitiva para a funcai [ f(x)=4 sec ^2 x-3 x+2 (. ) ]

Para determinar uma primitiva para a função \( f(x) = 4 \sec^2(x) - 3x + 2 \), precisamos encontrar uma função \( F(x) \) tal que \( F'(x) = f(x) \).Vamos analisar cada termo da função:1. **Termo \( 4 \sec^2(x) \)**: - A derivada de \( \sec(x) \) é \( \sec(x) \tan(x) \). - Portanto, a derivada de \( \sec^2(x) \) é \( 2 \sec(x) \sec(x) \tan(x) = 2 \sec^2(x) \tan(x) \). - Multiplicando por 4, temos \( 4 \cdot 2 \sec^2(x) \tan(x) = 8 \sec^2(x) \tan(x) \).2. **Termo **: - A derivada de é .3. **Termo constante **: - A derivada de uma constante é zero.Agora, somamos essas derivadas: Para encontrar a primitiva, integramos cada termo separadamente:1. **Integral de \( 8 \sec^2(x) \tan(x) \)**: - Usamos a substituição \( u = \sec(x) \), então \( du = \sec(x) \tan(x) dx \). - Assim, \( \int 8 \sec^2(x) \tan(x) dx = 8 \int \sec^2(x) \tan(x) dx = 8u du \). - Integramos: \( \int 8u du = 8 \cdot \frac{u^2}{2} = 4u^2 = 4 \sec^2(x) \).2. **Integral de **: - Usamos a fórmula básica da integral: .3. **Integral de **: - A integral de uma constante é a constante multiplicada pela variável de integração: .Somamos todos os termos: onde é a constante de integração.Portanto, uma primitiva para a função \( f(x) = 4 \sec^2(x) - 3x + 2 \) é: