8. iint _(S)(x^2+y^2)dS S é o superficie com equação vetorial r(u,v)=langle 2wv,u^2-v^2,u^2+v^2rangle ,u^2+v^2leqslant 1

Para resolver a integral de superfície \(\iint_{S} (x^2 + y^2) dS\), onde é a superfície dada pela equação vetorial \(r(u, v) = \langle 2wv, u^2 - v^2, u^2 + v^2 \rangle\) para , podemos seguir os seguintes passos:1. **Calcular o vetor normal à superfície **: Primeiro, precisamos calcular o vetor tangente para a superfície. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e : Em seguida, calculamos o produto cruzado desses vetores para obter o vetor normal : 2. **Calcular a integral de superfície**: Agora, substituímos , , e na integral e usamos a expressão para : Como , temos: \[ dS = \langle 0, 4uw, -4uw \rangle \cdot \langle \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v, du \, dv \rangle