a) sum _(k=1)^infty (-1)^k+1(2^k)/(k!)

Para determinar se a série \( \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{2^k}{k!} \) converge, podemos usar o teste da Alternância ou o teste da Diferença.### Teste da AlternânciaO teste da Alternância é aplicável para séries alternadas. Para uma série \( \sum (-1)^n a_n \), onde é uma sequência de números, a série converge se for monotonamente decrescente e tende a zero.Para a série dada, .Vamos verificar se é monotonamente decrescente e tende a zero:1. **Monotonamente decrescente**: Para , diminui mais rapidamente do que \( \frac{2^{k-1}}{(k-1)!} \). Isso pode ser verificado numericamente ou analiticamente.2. **Tende a zero**: Para , rapidamente devido ao fator que cresce muito mais rápido do que .Portanto, a série \( \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{2^k}{k!} \) passa no teste da Alternância.### Teste da DiferençaO teste da Diferença é aplicável para séries onde é uma sequência de números. A série converge se a série \( \sum (a_{n+1} - a_n) \) converge.Para a série dada, .Vamos calcular a diferença : Então, Para , é negativo e tende a -1 quando . Portanto, a série \( \sum (a_{k+1} - a_k) \) converge.Portanto, a série \( \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{2^k}{k!} \) converge.