Exercice 1 Soit f la fonction définie sur ]-1;+infty par : f(x)=(xsqrt (2))/(sqrt (1+x)) et (C_(f)) sa courbe dans un repère orthonormé (O;overrightarrow (i);overrightarrow (j)) a) Calculer : lim _(xarrow -1^+)f(x) et lim _(xarrow +infty )f(x) b) Déterminer les branches infinies de la courbe (C_(f)) II a) Montrer que : forall xin ]-1;+infty [, f'(x)=(sqrt (2)(x+2))/(2sqrt ((1+x)^3)) b) Donner le tableau de variations de la fonction f. c) Déterminer f([0;1]) d) Montrer que : f(x)-x=(x(1-x))/((sqrt (1+x))(sqrt (2)+sqrt (1+x))) En déduire les positions relatives de (C_(f)) et la droite D:y=x 4) Déterminer l'équation (Delta ) de la tangente à la courbe (C_(f)) au point d'abscisse a 5) Calculer f''(x) pour tout xin ]-1;+infty [ et en déduire la concavité de (C_(f)) sur ]-1;+infty 6) Tracer la courbe (C_(f)) On prend les points sqrt (2) 1. 4. 7) Montrer qu'il admet une fonction réciproque f^-1 définie sur un intervalle à déterminer. b) Tracer (C_(f^-1)) dans le même repère.

Exercice 1a) Pour calculer , nous devons substituer par dans la fonction et simplifier l'expression. De même, pour calculer , nous devons substituer par dans la fonction et simplifier l'expression.b) Les branches infinies de la courbe peuvent être déterminées en étudiant le comportement de la fonction lorsque tend vers et .IIa) Pour montrer que , nous devons dériver la fonction par rapport à et simplifier l'expression.b) Le tableau de variations de la fonction peut être obtenu en étudiant le signe de sa dérivée sur l'intervalle .c) Pour déterminer , nous devons substituer les valeurs de dans l'intervalle dans la fonction et calculer les valeurs correspondantes.d) Pour montrer que , nous devons simplifier l'expression et montrer que les deux côtés de l'équation sont égaux.e) Pour déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse , nous devons utiliser la formule de la tangente à une courbe et substituer par .f) Pour calculer pour tout , nous devons dériver la fonction par rapport à et simplifier l'expression. Ensuite, nous pouvons étudier le signe de pour déterminer la concavité de sur .g) Pour tracer la courbe , nous devons substituer les valeurs de dans la fonction et tracer les points correspondants.h) Pour montrer qu'il admet une fonction réciproque définie sur un intervalle à déterminer, nous devons trouver l'inverse de la fonction et déterminer l'intervalle sur lequel elle est définie.i) Pour tracer dans le même repère, nous devons substituer les valeurs de dans la fonction réciproque et tracer les points correspondants.