Question
02. A soma das medidas dos raios de duas esferas é 20 cm e 0 fuso de 60^circ de uma delas tem a mesma área que o fuso de 30^circ da outra. Calcule as medidas dos raios dessas esferas.
Solution
4.6
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Adriana
Elite · Tutor por 8 anos
Resposta
Para resolver esse problema, vamos utilizar a fórmula da área de uma esfera e a relação entre os ângulos e os raios das esferas.Vamos chamar de
o raio da primeira esfera e de
o raio da segunda esfera.Sabemos que a soma dos raios das duas esferas é 20 cm, ou seja:
Também sabemos que a área do fuso de
da primeira esfera é igual à área do fuso de
da segunda esfera. Vamos calcular essas áreas.A área de um fuso de ângulo
em uma esfera de raio
é dada por:
Para o fuso de
da primeira esfera:
Para o fuso de
da segunda esfera:
Sabemos que \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) e \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \). Substituindo esses valores, temos:
De acordo com a condição dada, as áreas são iguais:
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por
:
Dividindo ambos os lados por
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Agora, substituímos essa relação na primeira equação:
Para simplificar, multiplicamos o numerador e o denominador por
:
Portanto, as medidas dos raios das duas esferas são: