Seja Sa porção superior de uma esfera que int intercepta o plano z=0 na circunferência x^2+y^2=1 se bar (F)(x,y,z)=(y,-x,e^x) iint _(R)[(overline (Vx)bar (F))cdot overrightarrow (n)]cdot dS A. I a.-2pi b. A. C. -(2)/(pi ) d. 2n. e. -pi

Para resolver a integral dupla dada, vamos primeiro calcular o rotacional do vetor campo .O rotacional de um vetor campo é dado por , onde é o operador nabla. O operador nabla é definido como , onde , e são os vetores unitários nas direções , e , respectivamente.Calculando o rotacional de , temos: Agora, vamos calcular a integral dupla , onde é a superfície superior da esfera que intercepta o plano na circunferência .A normal à superfície é dada por . Como a superfície é a parte superior da esfera, podemos escrever .Calculando , temos: Portanto, .Substituindo e na integral dupla, temos: Simplificando, temos: Como a circunferência é uma circunferência unitária, podemos fazer a substituição e , onde varia de a .A integral se torna: Simplificando ainda mais, temos: Como a integral é independente de , podemos calcular a integral em relação a : Esta integral é difícil de calcular diretamente, mas podemos usar uma técnica chamada de integração por partes para simplificar a expressão.Aplicando a fórmula de integração por partes , escolhemos e .Então, e $v = \int e^{\sin(\theta)} \sin