8) De quantas maneiras podemos distribuir 5 bolas separadas em 3 caixas, se as caixas podem ficar vazias?

Para resolver esse problema, podemos usar o princípio da contagem. Temos 5 bolas e 3 caixas disponíveis para distribuir. Cada bola pode ser colocada em qualquer uma das 3 caixas, então temos 3 opções para cada uma das 5 bolas.No entanto, como as caixas podem ficar vazias, não precisamos nos preocupar com a distribuição das bolas entre as caixas. Portanto, podemos simplesmente calcular o número de maneiras de escolher 3 caixas dentre as 5 bolas disponíveis.Isso pode ser feito usando a fórmula de combinação, que é dada por:C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)Onde n é o número total de elementos e k é o número de elementos que queremos escolher.Aplicando essa fórmula ao nosso problema, temos:C(5, 3) = 5! / (3!(5-3)!) = 5! / (3!2!) = (5 * 4 * 3!) / (3! * 2 * 1) = 10Portanto, existem 10 maneiras de distribuir as 5 bolas separadas em 3 caixas, considerando que as caixas podem ficar vazias.