Question
4. Seja Tuma transformação linear em R^3 dada por T(x,y,z)=(z,x-y,-z) Indique: a) Núcleo b) Dimensão da Im (T) (USE O TEOREMA DO NỨCLEO E DA IMAGEM)
Solution
4.4
(239 Votos)
Natália Maria
Profissional · Tutor por 6 anos
Resposta
Para resolver a questão, vamos seguir os passos necessários para encontrar o núcleo e a dimensão da imagem da transformação linear
.### a) Núcleo de
O núcleo de
é o conjunto de todos os vetores \( (x, y, z) \) em
que são transformados em zero pelo operador
. Ou seja, precisamos resolver a equação:
Isso implica que:1.
2.
3.
Das condições acima, temos:1.
2.
Portanto, qualquer vetor \( (x, y, z) \) que satisfaça
e
está no núcleo de
. Em termos de vetores, o núcleo é:
### b) Dimensão da imagem de
Para determinar a dimensão da imagem de
, podemos usar o teorema do núcleo e da imagem. Este teorema nos diz que:
Sabemos que:- \( \dim(\mathbb{R}^3) = 3 \)- \( \dim(\text{Núcleo}(T)) = 1 \) (porque o núcleo é gerado por um vetor linearmente independente, \( (1, 1, 0) \))Aplicando o teorema:
Portanto:
### Conclusãoa) O núcleo de
é:
b) A dimensão da imagem de
é: