irracional. 3) Mostre que, para cada inteiro ngt 1 , temos: 1cdot 2+2cdot 3+... +(n-1)cdot n=(1)/(3)(n-1)n(n+1)

Para mostrar que a igualdade é verdadeira para cada inteiro , podemos usar um método de indução matemática. Vamos começar com a base da indução, ou seja, verificar se a igualdade é verdadeira para .Para , temos: E a expressão da direita: Portanto, a igualdade é verdadeira para .Agora, vamos assumir que a igualdade é verdadeira para um inteiro , ou seja: Queremos mostrar que a igualdade também é verdadeira para , ou seja: Podemos reescrever a expressão da esquerda adicionando : Usando a hipótese de indução, substituímos a parte anterior pela expressão equivalente: Fatorando : Simplificando dentro dos parênteses: Multiplicando por : Portanto, a igualdade é verdadeira para .Concluímos que a igualdade é verdadeira para todos os inteiros por indução matemática.