12 (UFU-MG)Funçōes afins e quadráticas têm aplicações em alguns mode- los simples envolvendo os conceitos preçode venda e custode produção de uma mercadoria , bem comoa receita eolucroobtidos com suavenda. Para uma empresa , é fundamental determinar o intervalo de produção em que a receita supera o custo de produção. Suponha que o custo de produção de uma mercadoria de certa empresa, em função da quanti- dade produzida X seja dado pela função C(x)=40x+1400(c_(0)=1400 e denominado custo fixo de produção) e que o preço de venda seja p(x)= -2X+200em que X é a quantidade demandada (vendida). Nesse caso, a receita R obtida com as vendas é função de X precisamente R(x)=x p(x) As quantidades produzidas e vendidas x para as quais essa empresa tem lucro L(x)=R(x)-C(x) positivo (receita supera o custo de produção) é ) xin vert xgt 40 C) xin vert 10lt xlt 70 b) xin vert 0lt xlt 10 d) xin vert 10lt xlt 40

Para determinar o intervalo de produção em que a receita supera o custo de produção, precisamos encontrar as quantidades para as quais a função de lucro \( L(x) = R(x) - C(x) \) é positiva.Primeiro, vamos calcular a função de lucro \( L(x) \): Sabemos que: Portanto, o lucro \( L(x) \) é: Para que a empresa tenha lucro positivo, precisamos que \( L(x) > 0 \): Para encontrar o intervalo onde essa inequação é verdadeira, podemos resolver a equação quadrática correspondente: Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes dessa equação: Onde , e : Isso nos dá duas soluções: Portanto, as raízes da equação são e .Para determinar o intervalo onde \( L(x) > 0 \), precisamos analisar o coeficiente de na função quadrática. Como o coeficiente de é negativo ( ), a parábola abre para baixo, o que significa que o intervalo onde \( L(x) \) é positivo está entre as raízes.Portanto, a resposta correta é:c)