29 sum _(k=2)^infty (k^2)/(k^2)-1 30 sum _(k=1)^infty (k(k+2))/((k+3)^2) 31 sum _(n=1)^infty (1+2^n)/(3^n) 32 sum _(n=1)^infty (1+3^n)/(2^n)

Vamos analisar cada uma das séries para determinar se elas convergem ou divergem.### 29. Para determinar se essa série converge ou diverge, podemos usar o teste de comparação ou o teste de limites. Vamos usar o teste de limites: Como o diferente de zero, a série diverge.### 30. \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k(k+2)}{(k+3)^2}\)Para essa série, podemos usar o teste de comparação. Compararemos com a série \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k(k+2)}{(k+3)^2}\) com \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k(k+2)}{k^2} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k(k+2)}{k^2} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k+2}{k}\). Para , podemos usar o teste de comparação com , que diverge. Portanto, a série \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k(k+2)}{(k+3)^2}\) diverge.### 31. Podemos usar o teste de razão para determinar se essa série converge ou diverge. O teste de razão envolve calcular o limite da razão entre dois termos consecutivos da série: Como o limite é maior que 1, a série diverge.### 32. Para essa série, podemos usar o teste de razão: Como o limite é maior que 1, a série diverge.Portanto, as séries 29, 30, 31 e 32 todas divergem.