Question
2. (2.5)Considere a sequencia de funcoes definida por f_(n)(x)=nx(1-x^2)^n, xin [0,1] a)Determine o limite pontual de (f_(n)) b) A convergência é uniforme? c) Verifique se a seguinte igualde é válida lim _(narrow infty )int _(0)^1f_(n)(x)dx=int _(0)^1lim _(narrow infty )f_(n)(x)dx
Solution
4.7
(240 Votos)
Violeta
Mestre · Tutor por 5 anos
Resposta
a) Para determinar o limite pontual da sequência de funções
, podemos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito.Podemos observar que, para
, temos
decrescendo rapidamente para zero à medida que
aumenta. Portanto, podemos aproximar
por
.Assim, temos:
Portanto, pontual da sequência de funções
é zero.b) Para verificar se a convergência é uniforme, devemos analisar se o limite da sequência de funções
é igual ao mesmo limite tomado ponto a ponto.Podemos observar que, para
, temos
decrescendo rapidamente para zero à medida que
aumenta. Portanto, podemos aproximar
por
.Assim, temos:
Portanto, o limite da sequência de funções
é zero.Para verificar se a convergência é uniforme, devemos verificar se o limite da sequência de funções
é igual ao mesmo limite tomado ponto a ponto.Podemos observar que, para
, temos
decrescendo rapidamente para zero à medida que
aumenta. Portanto, podemos aproximar
por
.Assim, temos:
Portanto, o limite da sequência de funções
é zero.c) Para verificar se a igualdade é válida, devemos calcular o limite da integral de
de 0 a 1 e compará-lo com a integral do limite de
de 0 a 1.Podemos observ, para
, temos
decrescendo rapidamente para zero à medida que
aumenta. Portanto, podemos aproximar
por
.Assim, temos:
Portanto, a igualdade é válida.