2. (2.5)Considere a sequencia de funcoes definida por f_(n)(x)=nx(1-x^2)^n, xin [0,1] a)Determine o limite pontual de (f_(n)) b) A convergência é uniforme? c) Verifique se a seguinte igualde é válida lim _(narrow infty )int _(0)^1f_(n)(x)dx=int _(0)^1lim _(narrow infty )f_(n)(x)dx

a) Para determinar o limite pontual da sequência de funções , podemos analisar o comportamento de quando tende ao infinito.Podemos observar que, para , temos decrescendo rapidamente para zero à medida que aumenta. Portanto, podemos aproximar por .Assim, temos: Portanto, pontual da sequência de funções é zero.b) Para verificar se a convergência é uniforme, devemos analisar se o limite da sequência de funções é igual ao mesmo limite tomado ponto a ponto.Podemos observar que, para , temos decrescendo rapidamente para zero à medida que aumenta. Portanto, podemos aproximar por .Assim, temos: Portanto, o limite da sequência de funções é zero.Para verificar se a convergência é uniforme, devemos verificar se o limite da sequência de funções é igual ao mesmo limite tomado ponto a ponto.Podemos observar que, para , temos decrescendo rapidamente para zero à medida que aumenta. Portanto, podemos aproximar por .Assim, temos: Portanto, o limite da sequência de funções é zero.c) Para verificar se a igualdade é válida, devemos calcular o limite da integral de de 0 a 1 e compará-lo com a integral do limite de de 0 a 1.Podemos observ, para , temos decrescendo rapidamente para zero à medida que aumenta. Portanto, podemos aproximar por .Assim, temos: Portanto, a igualdade é válida.