Para quais valores reais de k a equação x^2+y^2+4x-2y+k=0 representa uma circunterência? A k=1 B k=2 C klt 5 k=5 kgt 5

Para que a equação represente uma circunferência, é necessário que a expressão seja igual a zero e que a matriz de coeficientes da segunda ordem seja não singular.Primeiro, vamos reescrever a equação em forma padrão da equação da circunferência, que é \((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\), onde \((h,k)\) é o centro da circunferência e é o raio.Para isso, vamos completar o quadrado para os termos e :\(x^{2}+4x = (x+2)^{2}-4\)\(y^{2}-2y = (y-1)^{2}-1\)Substituindo esses termos na equação original, temos:\((x+2)^{2}-4+(y-1)^{2}-1+k=0\)Simplificando, temos:\((x+2)^{2}+(y-1)^{2}=5-k\)Para que essa expressão seja igual a zero, é necessário que seja positivo, ou seja, deve ser menor que 5.Portanto, a resposta correta é a opção C: .