1cdot 2+2cdot 3+... +(n-1)cdot n=(-(n-1)n(n+1))/(3)(n-1)n(n+1) 4) Prove que vert a_(1)+a_(2)+... +a_(n)vert geqslant vert a_(1)vert -vert a_(2)vert -... -vert a_(n)vert quaisquer que sejam os números reais a_(1),a_(2),ldots ,a_(n)

Para provar a desigualdade dada, vamos usar o método de indução matemática.**Base da indução:**Para , temos , que é verdadeiro.**Hipótese de indução:**Suponha que a desigualdade seja verdadeira para , ou seja, .**Passo da indução:**Vamos provar que a desigualdade também é verdadeira para .Considere a soma . Podemos escrever isso como .De acordo com a hipótese de indução, temos: Somando em ambos os lados da desigualdade, obtemos: Simplificando, temos: Portanto, a desigualdade é verdadeira para .**Conclusão:**De acordo com o princípio de indução matemática, a desigualdade é verdadeira para todos os números naturais .Portanto, a desigualdade é verdadeira para quaisquer números reais .