3. (2 pts) Calcule a integral iint _(S)Fcdot dsigma (não utilize o teorema de Gauss) se F(x,y,z)=3xi+ 3yj-3k e S é a superficie exterior do paraboloide r(x,y)=xi+yj+(x^2+y^2) k, tal que x^2+y^2leqslant 4

Para calcular a integral de superfície , precisamos primeiro entender a superfície e a função . A superfície é o parabolóide dado por \(r(x, y) = xi + yj + (x^2 + y^2)k\), onde . A função \(F(x, y, z)\) é dada por \(F(x, y, z) = 3xi + 3yj - 3k\).Para calcular a integral de superfície, precisamos calcular a integral de sobre a superfície . Para isso, precisamos encontrar a expressão de , que é a área elementar da superfície .Para encontrar , podemos usar a fórmula de Stokes, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial integral de linha de seu rotador curlado ao longo do contorno que delimita a superfície .O rotador curlado de é dado por: Calculando as derivadas parciais, temos: O contorno é a fronteira da região , que é um círculo de raio 2 unidades centrado em \((0, 0)\).A fórmula de Stokes é dada por: onde é o vetor tangente à curva no ponto \(r(t)\), com variando de 0 a .Para calcular a integral de linha, precisamos parametrizar o contorno . Uma possível parametrização é \(r(t) = 2\cos(t)\mathbf{i} + 2\sin(t)\mathbf{j}\), onde varia de 0 a .Calculando o vetor tangente, temos: Substituindo na integral de linha, temos: Simplificando, temos: Calculando as integrais separadamente, temos: Somando