Pergunta

15. Dados os velores overrightarrow (u)=(1,a,-2a-1),overrightarrow (v)=(a,a-1,1) C overrightarrow (w)=(a,-1,1) . determinar a tal que overrightarrow (u)cdot overrightarrow (v)=(overrightarrow (u)+overrightarrow (v))cdot overrightarrow (w)
Solução

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AndréElite · Tutor por 8 anos
Responder
Para determinar o valor de a que satisfaça a equação \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w}, vamos primeiro calcular os produtos escalar dos vetores dados.
Dado que \overrightarrow{u} = (1, a, -2a-1), \overrightarrow{v} = (a, a-1, 1) e \overrightarrow{w} = (a, -1, 1), podemos calcular o produto escalar \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} da seguinte forma:
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (1 \cdot a) + (a \cdot (a-1)) + ((-2a-1) \cdot 1)
Simplificando a expressão, temos:
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = a + a^2 - a - 2a - 1 = a^2 - 2a - 1
Agora, vamos calcular o produto escalar (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w}:
\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (1 + a, a + (a-1), -2a-1 + 1) = (a+1, 2a-1, -2a)
(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w} = ((a+1) \cdot a) + ((2a-1) \cdot (-1)) + ((-2a) \cdot 1)
Simplificando a expressão, temos:
(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w} = a^2 + a - 2a + 1 - 2a = a^2 - 3a + 1
Agora, igualamos as duas expressões:
a^2 - 2a - 1 = a^2 - 3a + 1
Simplificando a equação, temos:
-2a - 1 = -3a + 1
Resolvendo para a , encontramos:
a = 2
Portanto, o valor de a que satisfaça a equação é a = 2 .
Dado que \overrightarrow{u} = (1, a, -2a-1), \overrightarrow{v} = (a, a-1, 1) e \overrightarrow{w} = (a, -1, 1), podemos calcular o produto escalar \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} da seguinte forma:
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (1 \cdot a) + (a \cdot (a-1)) + ((-2a-1) \cdot 1)
Simplificando a expressão, temos:
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = a + a^2 - a - 2a - 1 = a^2 - 2a - 1
Agora, vamos calcular o produto escalar (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w}:
\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (1 + a, a + (a-1), -2a-1 + 1) = (a+1, 2a-1, -2a)
(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w} = ((a+1) \cdot a) + ((2a-1) \cdot (-1)) + ((-2a) \cdot 1)
Simplificando a expressão, temos:
(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w} = a^2 + a - 2a + 1 - 2a = a^2 - 3a + 1
Agora, igualamos as duas expressões:
a^2 - 2a - 1 = a^2 - 3a + 1
Simplificando a equação, temos:
-2a - 1 = -3a + 1
Resolvendo para a , encontramos:
a = 2
Portanto, o valor de a que satisfaça a equação é a = 2 .
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