Opcional Nota: A resposta deste item é um número entre 0 e 99. Céos está brincando com os números . Ele pretende formar uma sequência (f(0),f(1),f(2),ldots ) onde, para todo n natural, f(n+2)-sqrt (2)f(n+1)+f(n)=0 Se f(0)=1 e f(1)=0 qual o número na posição 2024? square 1

Para resolver essa sequência, podemos usar o método de diagonalização. Primeiro, vamos reescrever a relação de recorrência dada: Podemos observar que essa relação de recorrência é uma diferença de segunda ordem, que pode ser escrita na forma de uma matriz de diferença de segunda ordem: Podemos diagonalizar essa matriz para obter a forma diagonalizada. A matriz diagonalizada será da forma: onde e são os autovalores da matriz original.Para encontrar os autovalores, podemos usar o determinante: Resolvendo o determinante, encontramos os autovalores e .Agora, podemos escrever a forma diagonalizada da matriz de diferença de segunda ordem: A partir da forma diagonalizada, podemos ver que a sequência é uma combinação linear dos termos de potência de e .Podemos escrever a solução geral da forma: Usando as condições iniciais e , podemos encontrar os valores de e : Resolvendo esse sistema de equações, encontramos e .Portanto, a solução geral da sequência é: Para encontrar o número na posição 2024, substituímos na solução geral: Como é um número muito grande, o termo será muito pequeno em comparação. Portanto, podemos aproximar: Portanto, o número na posição 2024 é aproximadamente .