03) (1,5) A equação (x+y)dx+(xlnx)dy=0 não é exata, verifique se mu (x,y)=(1)/(x) a torna uma equação diferencial exata.

Para verificar se a função \(\mu(x, y) = \frac{1}{x}\) torna a equação diferencial \((x+y)dx + (x \ln x)dy = 0\) exata, precisamos calcular os coeficientes de e após a multiplicação pela função \(\mu(x, y)\) e verificar se a equação resultante é exata.Dada a equação: Multiplicamos ambos os lados por \(\mu(x, y) = \frac{1}{x}\): Simplificando, temos: Para que a equação seja exata, os coeficientes de e devem ser derivados um do outro. Vamos verificar isso:Derivando implicitamente \( \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \) em relação a : Derivando implicitamente em relação a : Como ambos os coeficientes derivam em , a equação é exata quando multiplicada pela função \(\mu(x, y) = \frac{1}{x}\).Portanto, a função \(\mu(x, y) = \frac{1}{x}\) torna a equação diferencial \((x+y)dx + (x \ln x)dy = 0\) exata.