2 Seja transformação linear L: R^3arrow R^2 .com L(x,y,z)=(x+y,2x+3z) . Dete a) Seu nucleo. b) Le injetiva? Porqué?

Para resolver as questões sobre a transformação linear , vamos analisar cada uma delas:### a) Núcleo de O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores \( (x, y, z) \) em que são mapeados para o vetor nulo \( (0, 0) \) em . Em outras palavras, precisamos encontrar todos os vetores \( (x, y, z) \) tal que \( L(x, y, z) = (0, 0) \).Dada a transformação \( L(x, y, z) = (x + y, 2x + 3z) \), igualamos a zero: Resolvendo o sistema de equações:1. Da primeira equação: .2. Da segunda equação: .Portanto, qualquer vetor \( (x, y, z) \) que satisfaça e está no núcleo de . Isso significa que o núcleo de é o conjunto de todos os vetores da forma \( (x, -x, -\frac{2}{3}x) \), que pode ser escrito como: ### b) Injetividade de Para determinar se é injetiva, precisamos verificar se cada vetor em é imagem de exatamente um vetor em . Ou seja, precisamos verificar se a transformação é uma função injetora.Considere dois vetores \( (x_1, y_1, z_1) \) e \( (x_2, y_2, z_2) \) em . Se \( L(x_1, y_1, z_1) = L(x_2, y_2, z_2) \), então: Isso implica que: Resolvendo essas equações:1. e .2. e .Portanto, \( (x_1, y_1, z_1) = (x_2, y_2, z_2) \). Isso mostra que é injetora.### Conclusão- **Núcleo de **: \(\text{span}\{(1, -1, -\frac{2}{3}), (0, 0, 1)\}\)- **Injetividade de **: é injetiva porque cada vetor em é imagem de exatamente um vetor em .