Questão 4 Considere a função f(x,y)=2x^3+xy-y Com base nessa função e nas propriedades de derivadas parciais de primeira e segunda ordem de fung de duas variáveis, analise os itens que seguem. I. A derivada parcial de primeira ordem da função em relação à xé dada por f_(x)=2x^2 II. A derivada parcial de segunda ordem da função em relação à y é dada por f_(Yy)=0. III. A derivada parcial de segunda ordem mista da função é dada por f_(xy)=f_(yx)=x. Assinale a alternativa correta. Apenas o item III está correto Apenas os itens le II estão corretos. Apenas o item I está correto. Apenas o item II está correto. Os itens I, II e III estão corretos.

Vamos analisar cada item para verificar sua correção:I. A derivada parcial de primeira ordem da função em relação à x é dada por .Esta afirmação está correta. A derivada parcial de primeira ordem de em relação a é dada por , o que resulta em .II. A derivada parcial de segunda ordem da função em relação à y é dada por .Esta afirmação está correta. A derivada parcial de segunda ordem de em relação a é dada por , o que resulta em .III. A derivada parcial de segunda ordem mista da função é dada por .Esta afirmação está correta. A derivada parcial mista de é dada por e . Ambas resultam em .Portanto, a alternativa correta é: "Os itens I, II e III estão corretos."