Dadas as funções: f(x)=(sqrt (x^2+9)-3)/(x^2),g(x)=(x^2+x-6)/(x-2) e h(x)=(sqrt (4x+1)-3)/(x-2) Analise as afirmativas seguintes. lim _(xarrow 0)((sqrt (x^2+9)-3)/(x^2))=(1)/(6) II lim _(xarrow 2)((x^2+x-6)/(x-2))=5 III lim _(xarrow 2)((sqrt (4x+1)-3)/(x-2))=(2)/(3) É correto o que se afirma em:

Vamos analisar cada uma das afirmativas:I. Para calcular o limite dessa função quando x se aproxima de 0, podemos usar o desenvolvimento em série de Taylor para a função em torno de 0. Temos: Substituindo esse desenvolvimento na função original, temos: Portanto, a afirmativa I está incorreta.II. Podemos simplificar essa função fatorando o numerador: Assim, temos: Cancelando o fator comum , temos: Portanto, a afirmativa II está correta.III. Para calcular esse limite, podemos usar o desenvolvimento em série de Taylor para a função em torno de 2. Temos: Substituindo esse desenvolvimento na função original, temos: Portanto, a afirmativa III está incorreta.Portanto, a resposta correta é a afirmativa II.