Pergunta

169) Seja R^2 o produto cartesiano de R por ele mesmo.Considerando a soma de vetores usual em R^2 verifique se R^2,+) é um grupo. (x,y)+(a,b)=(x+a,y+b)
Solução

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DelmaMestre · Tutor por 5 anos
Responder
Para verificar se (R^{2}, +) é um grupo, precisamos verificar se ele satisfaz as quatro propriedades de um grupo: fechamento, associatividade, identidade e inverso.
1. Fechamento: Para qualquer (x, y), (a, b) \in R^{2}, a soma (x, y) + (a, b) também pertence a R^{2}. Portanto, o conjunto R^{2} está fechado sob a operação de soma.
2. Associatividade: A operação de soma em R^{2} é associativa. Ou seja, para qualquer (x, y), (a, b), (c, d) \in R^{2}, temos ((x, y) + (a, b)) + (c, d) = (x + a, y + b) + (c, d) = (x + a + c, y + b + d) = (x, y) + ((a, b) + (c, d)) = (x, y) + (a + c, b + d) = (x + a + c, y + b + d).
3. Identidade: O vetor nulo (0, 0) é o elemento identidade para a operação de soma em R^{2}. Ou seja, para qualquer (x, y) \in R^{2}, temos (x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y).
4. Inverso: Para cada vetor (x, y) \in R^{2}, existe um vetor (-x, -y) \in R^{2} tal que (x, y) + (-x, -y) = (x - x, y - y) = (0, 0). Portanto, cada elemento de R^{2} tem um inverso na operação de soma.
Portanto, podemos concluir que (R^{2}, +) é um grupo.
1. Fechamento: Para qualquer (x, y), (a, b) \in R^{2}, a soma (x, y) + (a, b) também pertence a R^{2}. Portanto, o conjunto R^{2} está fechado sob a operação de soma.
2. Associatividade: A operação de soma em R^{2} é associativa. Ou seja, para qualquer (x, y), (a, b), (c, d) \in R^{2}, temos ((x, y) + (a, b)) + (c, d) = (x + a, y + b) + (c, d) = (x + a + c, y + b + d) = (x, y) + ((a, b) + (c, d)) = (x, y) + (a + c, b + d) = (x + a + c, y + b + d).
3. Identidade: O vetor nulo (0, 0) é o elemento identidade para a operação de soma em R^{2}. Ou seja, para qualquer (x, y) \in R^{2}, temos (x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y).
4. Inverso: Para cada vetor (x, y) \in R^{2}, existe um vetor (-x, -y) \in R^{2} tal que (x, y) + (-x, -y) = (x - x, y - y) = (0, 0). Portanto, cada elemento de R^{2} tem um inverso na operação de soma.
Portanto, podemos concluir que (R^{2}, +) é um grupo.
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