alcule o volume do sólido obtido pela rotação da regia =e^-x^(2),y=0,x=-1,x=1 em torno de y=-1

Para calcular o volume do sólido obtido pela rotação da região dada em torno de , podemos usar o método dos discos ou anéis. Vamos usar o método dos anéis.A fórmula para o volume usando o método dos anéis é: Onde:- \( R(x) \) é a distância da curva até a linha .- \( r(x) \) é a distância da curva até a linha (que é zero).Para \( R(x) \), a distância entre e é: Para \( r(x) \), a distância entre y = -1 \) é zero: Portanto, a fórmula para o volume é: Vamos calcular essa integral: Podemos separar a integral em duas partes: Sabemos que é uma integral de uma função simétrica sobre um intervalo simétrico, e podemos usar a propriedade de que é uma função simétrica: Para , podemos usar uma substituição. Seja , então : Esta integral pode ser resolvida usando a propriedade de que \( \int_{0}^{1} e^{-u^2} \, du = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \text{erf}(1) \), onde é a função erro.Portanto: Agora, calculamos : Substituindo tudo de volta na fórmula do volume: Portanto, o volume do sólido obtido pela rotação da região dada em torno de é: