Question
Seja f:Rarrow R definida f(x) = f(x)= ) 3x+3,xleqslant 0 x^2+4x+3,xgt 0 Podemos afirmar que: A f é injetora mas não é sobrejetora. B fé sobrejetora mas não é injetora. C f é bijetora e f^-1(3)=0 D f é bijetora e f^-1(0)=1 E f é bijetora e f^-1(0)=-2
Solution
4
(317 Votos)
Igor
Mestre · Tutor por 5 anos
Resposta
Para determinar se a função f é injetora, sobrejetora ou bijetora, precisamos analisar o comportamento da função para valores positivos e negativos de x.Para valores de x menores ou iguais a 0, a função f(x) é definida como f(x) = 3x + 3. Podemos observar que essa é uma função linear com coeficiente angular positivo, o que implica que a função é crescente. Portanto, para valores negativos de x, a função é injetora.Para valores de x maiores que 0, a função f(x) é definida como f(x) = x^2 + 4x + 3. Podemos observar que essa é uma função quadrática com coeficiente de x² positivo, o que implica que a função é crescente para valores de x maiores que -2. Portanto, para valores positivos de x maiores que 2, a função é injetora.Agora, vamos analisar se a função é sobrejetora. Para isso, precisamos verificar se todos os valores reais possíveis são alcançados pela função.Para valores de x menores ou iguais a 0, a função f(x) = 3x + 3 alcança todos os valores reais, pois é uma função linear crescente.Para valores de x maiores que 0, a função f(x) = x^2 + 4x + 3 alcança todos os valores reais, pois é uma função quadrática que atinge seu valor mínimo em x = -2. Portanto, para valores de x maiores que 0, a função é sobrejetora.Portanto, podemos afirmar que a função f é injetora para valores negativos e positivos de x maiores que 2, e é sobrejetora para todos os valores reais. Portanto, a função f é bijetora.Agora, vamos analisar as opções de resposta:A) f é injetora mas não é sobrejetora. - Incorreto, pois a função é bijetora.B) f é sobrejetora mas não é injetora. - Incorreto, pois a função é bijetora.C) f é bijetora e f⁻¹(3) = 0. - Incorreto, pois f⁻¹(3) não é igual a 0.D) f é bijetora e f⁻¹(0) = 1. - Incorreto, pois f⁻¹(0) não é igual a 1.E) f é bijetora e f⁻¹(0) = -2. - Correto, pois f⁻¹(0) é igual a -2.Portanto, a resposta correta é a opção E.