Raduzindo Equacbes de Segunda Ordem para Primelra Ordem A reducto de ordem e uma tecnica poderosa en equaples differencias, particularmente util quando uma solucio de uma equaclo de segunda ordem segunda solucio linearmente independente. Dado que sin(x)=e^x uma solucio para equação diferencial y''-2y'+y=0. encontre uma segunda soluçlo linearmente independente usando o metodo de reduclo de ordem. y(x)=xe^2 B n(x)=e^2x C n(x)=x^2e^x D y(z)=ze^-1 y(x)=e^-x

Para resolver a equação diferencial usando o método de redução de ordem, primeiro precisamos encontrar uma solução particular para a equação homogênea associada . Podemos fazer isso procurando uma solução da forma .Substituindo na equação homogênea, temos: Simplificando, temos: Resolvendo essa equação quadrática, encontramos . Portanto, uma solução geral para a equação homogênea é .Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea . Podemos assumir que a solução geral da equação não homogênea seja uma soma da solução geral da equação homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea.Assim, assumimos .Substituindo na equação diferencial original, temos: Simplificando, temos: Agora, precisamos encontrar uma solução particular para essa equação. Podemos assumir que seja da forma , onde A e B são constantes a serem determinadas.Substituindo essa forma em nossa equação, temos: Simplificando, temos: Simplificando ainda mais, temos: Comparando coeficientes, temos: e Portanto, e . Assim, uma solução particular para a equação é .Portanto, uma solução geral para a equação diferencial é .Comparando com as opções fornecidas, vemos que a resposta correta é a letra B: .